KALKULUS

INTEGRAL GANDA

      Integral untuk fungsi satu variable, kita membentuk suatu partisi dari interval [a,b] menjadi interval-interval yang panjangnya Δx_k ,  k = 1, 2, 3, 4, ….n.

 

Dengan cara yang sama, Kita definisikan integral untuk fungsi dua variable.

Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xoy. Kemudian daerah ini dibagi atas n buah sub daerah yang masing-masing luasnya A₁ , A₂  , A₃  …… An  

Dalam setiap sub daerah, pilih suatu titik P_k(x_k, y_k         

dan bentuklah jumlah :

Jika jumlah sub daerah makin besar (n→~), maka integral rangkap (lipat dua) dari fungsi f(x,y) atas daerah R didefinisikan :

Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis dalam bentuk :

a.

      dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable y konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap y.

b.                     

      dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable x konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap x.

Jika integral lipat dua diatas ada, maka (a) dan (b) secara umum akan memberikan hasil yang sama.

INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS PERSEGI PANJANG

Bentuk umum :

           

dimana : R = { (x,y) ; a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d }

       a,b,c dan d adalah konstanta 

Contoh :

INTEGRAL LIPAT DUA DENGAN BATAS BUKAN PERSEGI PANJANG

dimana :

  R = { (x,y) ; f₁(x) ≤ y ≤ f₂(x) ,a ≤ x ≤ b }

dimana :

  R = { (x,y) ; f₁(y) ≤ x ≤ f₂(y) ,c ≤ y ≤ d }

Contoh :

      

APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA

Aplikasi integral lipat dua yang bentuk umumnya :

dapat dijelaskan sbb :

1.    LUAS

Luas bidang dapat dipandang sebagai integral lipat dua jika f(x,y) = 1 , sehingga integral lipat dua menjadi :

Dalam koordinat polar :

contoh :

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x + y = 2 dan 2y = x + y

Jawab :

 

2.