GEOMETRI TRANSFORMASI

BAB II

PEMBAHASAN

A.          Pengertian Setengah Lingkaran

Misalkan v bidang euclid dan A titik tertentu pada bidang v.. Setengah putaran pada titik A adalah fungsi σA yan didefinisikan untuk setiap titik P pada v sebagai berikut.                         1)   Apabila P = A maka σA (P) = A           2)   Apabila P ≠ A maka σA (P) = Q sehingga A titik tengah (ruas garis )

Definisi 3.1

Untuk lebih memperjelas makna  Definisi 3.1 di atas Anda pelajari contoh berikut ini .

Contoh 3.1

Diberikan A, B,  dan C adalah titik – titik pada bidang Euclid v. Lukis  :

a)      Titik D sehingga D = σA  ( B )

b)      Titik E sehingga  C = σA( E )

Penyelesaian :

a)      D = σA ( B ) berdasarkan Definisi 3.1, A adalah titik tengah  . karena B ≠ A maka ada ruas garis  . Kemudian Anda perpanjang ruas garis  ke arah titik A sehingga memperoleh ruas garis  yang ekuivalen dengan ruas garis  . Akibatnya Anda  mendapatkan ruas garis  di  mana A merupakan titik tengah ruas garis  . Artinya D = σA ( B ) .

b)      C = σA  ( E ) berdasarkan Definisi 3.1, A adalah titik tengah dari . karenaC ≠ A maka ada ruas garis  . Kemudian  Anda perpanjang ruas garis  ke arah titik A sehingga memperoleh ruas garis  yang ekuivalen dengan ruas garis . Akibatnya Anda mendapatkan ruas garis  di mana titik A sebagai titik tengahnya, artinya C = σA ( E ).

1.                  Setengah Putaran Sebagai Suatu Isometri

Dalam bagian ini anda akan mencoba mengkaitkan hubungan antara pengertian setengah putaran dengan pengertian isometric yang telah anda pelajari pada bab sebelumnya. Hubungan ini dituangkan dalam teorema berikut :

Setiap Setengah Putaran adalah suatu isometri

 Toerema 3.1 

Bukti :

Dalam rangka membuktikan Teorema 3.1 di atas anda ambil sebarang setengah putaran σ_A, dalam hal ini terdapat dua langkah, yaitu :

1. langkah menunjukkan σA merupakan suatu transformasi
2. langkah menunjukkan σA merupakan suatu isometric

timbul pertanyaan pada benak anda mengapa demikian? Hal ini disebabkan karena anda menetapkan pengertian isometric melalui pengertian transformasi (lihat bab sebelumnya)

1. untuk menunjukkan σA suatu transformasi, maka anda harus menunjukkan tiga hal, yaitu :

1)      σA (P) Є v , P Є v, artinya σA : v → v

2)      σA fungsi kepada, dan

3)      σA fungsi satu-satu

1.      Ambil P Є v sebarang. Apabila P = A maka berdasarkan definisi 3.1

1)      σA (P) = A. Karena A Є v maka σA (P) Є v. Apabila P ≠ A, maka   v. Misalkan Q = σA  (P), maka berdasarkan Definisi 3.1

2)      A titik tengah , artinya A Є . Karena A Є , maka   Karena A, P Є v, maka Є v. Karena   dan   v, maka  Є v maka berlaku σA (P) Є v. Dengan kata lain σA : v → v.

2.       Ambil Q titik sebarang pada v. apabila Q = A maka ada  Apabila Q ≠ A maka . hal ini berarti bahwa Apabila Q ≠ A, ada  sehingga (P)=Q. jadi,

3.       Ambil P dan R titik sebarang pada v sehingga

 (P) =  (P) = = A maka P = A = R. Apabila  (P) = = S dengan S ≠ A maka A titik tengah  dan  maka  =  karena  =

 (P) =

Dari uraian diatas kita dapat menyimpulkan bahwa merupakan suatu transformasi.

2. Selanjutnya Anda akan tunjukkan bahwa σA suatu isometric.

Untuk keperluan ini anda ambil titik-titik P dan R pada v. kemudian anda  misalkan σA (P) = D dan σA (R) = E (lihat gambar 3.2). Akibatnya PA = AD dan RA = AE.

Hubungkanlah titik P dengan R dan titik D dengan E, maka terbentuklah dua segitiga, yaitu ∆PAR dan ∆DAE. Karena PA = DA,  PAR DAE (sudut-sudut bertolak belakang) dan RA = AE, maka ∆ PAR kongruen ∆DAE (sisi-sudut-sisi). Karena ∆PAR ∆DAE, maka PR = DE. Jadi σA suatu isometri

3. Persamaan Setengah Putaran

Hubungan antara setengah putaran dengan koordinat kartesius dituangkan dalam teorema berikut:

Teorema 3.5

Bukti:

Misalkan  maka A titik tengah Sehingga Anda mendapatkan hubungan,

                         dan

Apabila Anda selesaikan didapat persamaan  dan  jadi,

Untuk lebih memahami persamaan setengah putaran yang dituangkan dalam Teorema 3.5 di atas, Anda pelajari contoh berikut ini.

Contoh 3.2

Buktikan Teorema 3.2 dengan menggunakan Teorema 3.5.

Penyelesaian:

Ambil garis sebagai sumbu  dan garis  sebagai sumbu . Akibatnya, apabila  maka  Ambil titk sembarang

Berdasarkan Teorema 3.5,  Anda mendapatkan bahwa :

Berdasarkan Teorema 2.6 bagian dan akan didapatkan :

 dan

Sehingga

                                   

                                   

                                   

Berdasarkan (1) dan (2) Anda simpulkan bahwa:

Jadi,

B. LANJUTAN SETENGAH PUTARAN

Dalam bagian ini kita akan mempelajari sifat-sifat setengah putaran dan pencerminan disebabkan ketentuan invarian, kolineasi dan dilatasi, seperti dituangkan dalam definisi-definisi dan teorema-teorema berikut ini.

Definisi 3.2

Misalkan A suatu titik tertentu pada bidang Euclid dan T suatu transformasi. Titik A disebut titik invarian pada transformasi T jika dan hanya jika berlaku T(A) = A.

Teorema 3.6

Setiap refleksi (pencerminan) pada garis mempunyai tak hingga titik invarian

Bukti :

Berdasarkan definisi dari suatu refleksi (pencerminan) pada sebuah garis, misalnya sumbu refleksinya adalah garis g, maka Anda mengetahui bahwa :

1.      µ_g(P) = P jika P ϵ g

2.      µ_g(P) = Q jika g sumbu dari PQ

Akibatnya  P ϵ g, jelas bahwa µ_g(P) = P. Artinya P titik invarian pada µ_g ini. Karena garis g mempunyai tak hingga titik, akibatnya titik invarian dari µ_g adalah tak hingga, yaitu semua titik pada garis g. Karena sumbu refleksi diambil sebarang garis g, maka kesimpulannya setiap refleksi pada garis mempunyai tak hingga titik invarian.

Teorema 3.7

Setiap setengah putaran mempunyai tepat satu titik invarian.

Bukti :

Ambil  sebarang setengah putaran. Berdasarkan definisi 3.1 jelas bahwa hanya P=A sehingga . Berdasarkan definisi 3.2 jelas bahwa A titik invarian pada . Jadi  mempunyai tepat satu titik invarian. Karena  sebarang setengah putaran, maka setiap setengah putaran mempunyai tepat satu titik invarian.

Definisi 3.3

Sebuah transformasi T yang mempunyai sifat bahwa sebuah garis petanya adalah sebuah garis, maka T disebut kolineasi.

Teorema 3.8

Setiap refleksi pada garis merupakan suatu kolineasi

Bukti :

Ambil µ_g sebarang refleksi pada garis g. Berdasarkan teorema 2.4 µ_g suatu isometri. Karena suatu isometri bersifat mengawetkan garis, artinya peta dari sutu garis adalah garis lagi oleh suatu isometri, maka µ_g mengawetkan garis. Berdasarkan definnisi 3.3, Anda simpulkan bahwa µ_g suatu kolineasi. Karena µ_g diambil sebarang refleksi pada garis, maka setiap refleksi merupakan suatu kolineasi.

Teorema 3.9

Setiap setengah putaran merupakan suatu kolineasi

Bukti :

Karena setengah putaran merupakan suatu isometri dan karena suatu isometri mengawetkan garis, maka setengah putaran merupakan kolineasi.

Definisi 3.4

Suatu kolineasi yang merupakan sifat bahwa peta dan prapeta suatu garis akan sejajar disebut dilatasi.

Teorema 3.10

Setiap setengah putaran merupakan dilatasi

Bukti :

Ambil  sebarang setengah putaran dan g sebarang garis. Apabila g melalui titik A, maka . Jadi . Apabila g tidak melalui titik A.

Ambil B, C ϵ g, misalkan D = (B) , E = , maka AB = AD, AC = AE, dan , sebab B, A, D dan C, A, D masing-masing terletak pada satu garis, jadi (s-sd-s). Akibatnya  . Karena  dan E juga A terletak pada satu garis, maka BC // DE . Karena g = BC dan  , maka (g) // g. Jadi  merupakan dilatasi. (lihat gambar 3.5)

Komposisi dua setengah putaran dengan pusat yang berbeda tidak memiliki titik invarian

Teorema 3.11

Bukti :

            Ambil  dengan A ≠ B. Namakan  dengan garis g dan buat garis h melalui A tegak lurus g dan garis k melalui B tegak lurus garis g ( lihat gambar  di bawah

 

 

 

Andaikan  titik invariant dari  artinya

 

 

 

Misalkan  = Y, maka k sumbu dan h juga sumbu dari Terjadi kontradiksi dengan h berbeda dari k, sebab masing-masing melalui titik A dan B yang berbeda. Jadi pengandaian bahwa Xtitik invariant dari Adalah salah . Sehingga dapat disimpulkan bahwa  tidak memiliki titik.

Apabila diberikan titik A dan B sehingga A  B, maka hanya ada satu buah setengah putaran yang memetakan A ke B.

Teorema 3.12

Bukti :

               Ada dua hal yang harus kita tunjukan , yaitu :

1.      Adanya setengah putaran yang memetakan A ke B.

Karena AB maka ada , hal ini mengakibatkan adanya D sehingga D titik tengah , artinya ada setengah putaran

2.      Tidak lebih dari satu buah setengah putaran yang memetakan A ke B

Andaikan ada 2 buah setengah putaran yang memetakan

 

 

 

Akibatnya A titik invariant dari Apabila D  E

maka  tidak memiliki titik invariant ( terema 3.11). Sehingga berakibat bahwa D = E. jadi

Kesimpulannya hanya ada satu buah setengah putaran yang memememetakan A ke B, yaitu  dimana D titik tengah .

Apabila T suatu transformasi, L himpunan titik-titik dan A sebuah titik tertentu, maka A T ( L) jika dan hanya jika (A)  L.

Teorema 3.13

Bukti :

            Yang harus kita tunjukan dala hal ini dua hal, adalah :

1.      Jika A  T(L) maka (A)  L

T(L) =  dan diberikan A  T(L). maka ada X  L sehingga A = T(x). Akibatnya kita mendapatkan . Karena X  L, maka (A)  L

2.      Jika (A)  L maka A T(L)

Diberikan (A)  L, ini berarti bahwa

 T[ (A)  

 

Jadi

Contoh 3.3

Diberikan L = , A(4,-3) dan B(3,1). Jika g adalah sumbu x, selidiki apakah A()(L)?

Penyelesaian

[(x,y)]= (x,-y),

Maka

=

=

= (6 – x, 2 + y)

Sehingga

Karena (2)² + 4 (1)² = 4 + 4 = 8 16, maka (2, -1)  Berdasarkan teorema 3. 13, kita simpulkan bahwa (

DAFTAR PUSTAKA

Darhim, Ahmad Rasmedi. 2005. Geometri Transformasi. Jakarta ; Universitas Terbuka.