Oret-OretanKuh: MAKALAH GEOMETRI AFFINE

BAB I

PENDAHULUAN

I.I Latar Belakang

Geometri Affine menarik banyak perhatian para ilmuan dalam sepuluh tahun belakangan ini. Latar belakang yang mendasari lahirnya Geometri Affine adalah

geometri terurut. Bidang Affine dipandang sebagai keadaan khusus dari bidang terurut.

Awalnya Euler mengidentifikasi bahwa banyak sifat-sifat Affine yang sudah dikenal dari geometri Euclid, tetapi juga berlaku di ruang Minkowski. Sifat-sifat geometri Euclid ini dikembangkan dengan proyeksi paralel dari satu bidang ke bidang lainnya yang disebut dengan Affine. Akibatnya, geometri Affine merupakan perluasan dari geometri Euclidean yang bercirikan kemiringan dan skala distorsi. Dalam bahasa program Erlangen Klein, yang mendasari simetri dalam geometri Affine adalah grup afinitas, yaitu grup transformasi yang dihasilkan oleh transformasi linear dari ruang vektor dan translasi vektor.

I.II Tujuan

Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini adalah sebagai bahan kajian mahasiswa mengenai ilmu geometri, khususnya mengenai geometri Affine dan sebagai tugas akhir mata kuliah geometri.

BAB II

GEOMETRI AFFINE

II.I Sejarah Geometri Affine

Pada 1748 Euler memperkenalkan istilah Affine pada bukunya Introductio in Analysin Infinitorum (bab XVII), yang berarti terkait. Pada 1827 Möbius menuliskan geometri affine pada bukunya, Der Barycentrische Calculnya (bab III).

Setelah program Erlangen, Klein Felix diperkenalkan, maka geometri Affine merupakan perluasan dari geometri Euclidean.

Nama geometri Affine berasal dari program Erlangen dari Felix Klein. Geometri Affine merupakan bentuk geometri yang menampilkan sifat garis paralel tunggal di mana dugaan dari sudut tidak terdefinisi dan panjang tidak dapat dibandingkan dalam arah yang berbeda dengan mengabaikan Euclid ketiga dan dalil ke-empat.

Geometri affine dapat dikembangkan atas dasar aljabar linear. Seseorang dapat mendefinisikan ruang affine sebagai suatu himpunan titik yang dilengkapi dengan suatu himpunan transformasi, yang membentuk sebuah ruang vektor. Dalam istilah yang lebih konkrit, jumlah ini untuk menjalankan operasi yang menghubungkan ke dua titik vektor lain yang memungkinkan translasi titik dengan vektor asli.

contoh :

( x , y ) (X, y) (1 + 2 x , 1 + 2 y ) (1 + 2 x, 1 + 2 y)
( x , y ) (X, y) (1 + x + y , 2 + y ) (1 + x + y, 2 + y)

Sifat Sederhana Geometri Affine

Apabila dalam suatu geometri diberlakukan aksioma kesejajaran, maka diperoleh suatu geometri Affine, di mana aksioma kesejajaran tersebut yaitu dapat ditarik tepat satu buah garis melalui sebuah titik di luar suatu garis. Ada beberapa teorema yang berkaitan dengan geometri Affine, yaitu sebagai berikut :

Teorema 2.2.1

Misalkan garis a sejajar dengan garis b, jika garis c memotong garis a, maka c memotong garis b.

Akibat 2.2.2

Jika garis a, b, c berlainan dengan a sejajar dengan garis b dan c sejajar dengan garis a, maka c sejajar dengan garis b.

Akibat 2.2.3

Apabila a sejajar dengan garis b, b sejajar dengan garis c, maka a=c atau a sejajar dengan garis c.

Definisi 2.2.4

Jika garis a dan b sejajar, maka garis a searah dengan garis b.

Definisi 2.2.5

Jika untuk setiap partisi dari semua titik pada suatu garis dalam dua himpunan yang tidak kosong sedemikian hingga tidak ada titik dari masing-masing himpunan yang terletak antara dua titik dari himpunan lainnya, maka ada satu titik dari satu himpunan yang terletak antara setiap titik dari himpunan itu dan setiap titik himpunan lainnya.

Definisi 2.2.6

Untuk sebarang titik A dan sebarang garis r yang tidak melalui A, terdapat tepat satu garis melalui A dalam bidang Ar, yang tidak memotong r.

Definisi 2.2.7

Jika A, A’, B, B’, C, C’, O adalah tujuh buah titik berlainan sedemikian hingga AA’, BB’, CC’ adalah 3 buah garis berlainan melalui O dan jika AB//A’B’, BC//B’C’, maka CA//C’A’.

Definisi 2.2.8

Kesejajaran dalam Geometri Affine adalah suatu relasi ekuivalensi yang memenuhi sifat-sifat sebagai berikut :

1. Refleksi, yaitu setiap garis a sejajar dengan garis a sendiri.

2. Simetrik, yaitu jika garis a sejajar dengan garis b, maka garis b sejajar dengan garis a.

3. Transitif, yaitu jika garis a sejajar dengan garis b dan garis b sejajar dengan garis c, maka garis a sejajar dengan garis c.

Teorema 2.2.9

Jika ABC dan A’B’C’ adalah dua segitiga dengan titik sudut yang berlainan sedemikian hingga BC//B’C’, CA//C’A’, dan AB//A’B’, maka ketiga garis AA’, BB’, dan CC’ adalah berpotongan pada satu titik (kongkruen) atau sejajar.

Teorema 2.2.10

Jika A, A’, B, B’, C, C’ adalah enam titik berlainan pada tiga garis sejajar berlainan AA’, BB’, CC’ sedemikian hingga garis AB sejajar dengan A’B’, BC sejajar dengan B’C’, maka CA juga sejajar dengan C’A’.

Definisi 2.2.11

Empat titik A,B,C, dan D yang tidak segaris dikatakan membentuk suatu jajaran genjang jika AB sejajar DC dan BC sejajar AD.
A,B,C, dan D adalah titik sudut jajaran genjang tersbut. Segmen-segmen AB, BC,CD, dan DA adalah sisi-sisinya dan segmen-segmen AC dan BD diagonal-diagonalnya. Karena B dan D pada pihak yang berlainan dari AC, maka diagonal-diagonal berpotongan di suatu titik yang disebut pusat jajaran genjang.

II.III Ruang Affine dan Transformasi Affine

Deﬁnisi 2.3.1

Himpunan vektor-vektor V dan titik-titik P dengan vektor V membentuk ruang vektor dan titik-titik dapat dikombinasikan dengan vector maka dapat membentuk titik baru P + ⇒ Q dimana P,Q ∈ P dan ∈ V.

Definisi 2.3.2

parallel lines remain parallel,Misalkan T subset dari R² dan transformasi Affine pada T, maka f dapat berbentuk

Pada transformasi Affine tidak memperhatikan kesebangunan. Hal ini dikarenakan faktor pengali pada x tidak sama dengan pengali pada y.

Secara umum transformasi linier pada , dinyatakan oleh , denganadalah matriks nxn yang determinannya tidak nol dan adalah vector di .

Transformasi Affine adalah hubungan geometri yang mempertahankan bentuk dasar dan integritas bangun geometri. Transformasi Affine dapat berupa rotasi, translasi, dan dilatasi. Transformasi Affine bersifat linier (perubahan yang kecil pada transformasi akan mengakibatkan perubahan yang kecil pada objek yang ditransformasikan), tetapi akan membentuk fraktal nonlinier jika beberapa transformasi digabungkan dan diiterasi.

Transformasi yang kita kenal dalam bentuk matriks di atas, masih memiliki operasi yang berbeda untuk tiap transformasinya. Ada yang dengan perkalian, ada yang dengan penjumlahan. Oleh karena itu, diusahakan supaya setiap matriks transformasi bisa dioperasikan dengan satu operasi saja dan yang dipilih adalah perkalian. Jika matriks P adalah sebuah titik (x, y), M adalah sebuah matriks transformasi, dan P’ adalah proyeksinya (x’, y’) maka,

P ‘ =M ⋅P

Agar dapat memenuhi persamaan tersebut, matriks-matriks di atas harus diubah bentuknya, disesuaikan agar semua jenis transformasi tersebut dapat tertampung dalam satu bentuk matriks yang standar. Maka setiap matriks di atas akan direpresentasikan dalam bentuk 3×3 dan sebuah titik pada bidang koordinat 2 dimensi direpresentasikan sebagai (x,y,1), sehingga dihasilkan persamaan berikut:

dengan a, b, c, d, e dan f adalah koefisien transformasinya

Definisi 2.3.3

Hasil kali dua translasi A ® B dan B ® C adalah translasi A ® C.

Definisi 2.3.4

Jika dua titik berlainan, misalnya A dan B ditukar oleh suatu dilatasi tunggal AB ® BA atau A ↔ B, maka transformasi itu disebut setengah putaran.

Teorema 2.3.5

Hasil kali dua setengah putaran A ↔ B dan B ↔ C adalah translasi A ® C.

Teorema 2.3.6

Garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi suatu segitiga adalah sejajar dengan sisi yang ketiga dan suatu garis yang melalui titik tengah suatu sisi dan sejajar dengan sisi yang lain akan melalui titik sisi yang ketiga.

BAB III

PENUTUP

III.I Kesimpulan

Berdasarkan uraian yang telah dipaparkan di atas, dapat kita ambil kesimpulan bahwasanya geometri Affine memiliki keterikan yang cukup kuat dengan geometri Euclidean. Beberapa literatur menyebutkan bahwa geometri Affine merupakan perluasan dari Geometri Euclidean.

III.II Saran

Setelah kami menyelesaikan makalah ini, kami masih mengasumsikan bahwa makalah ini masih belum sempurna. Harapannya kepada para pembaca ataupun para penelitia nantinya agar lebih membahas lagi mengenai geometri Affine dengan menggunakan refensi lainnya yang lebih mendalam.